Soluzioni

I lupi mannari morti ritrovati sono esattamente tre. Per arrivare a questa conclusione bisogna però seguire un ragionamento logico che è abbastanza semplice da capire, ma piuttosto difficile da impostare senza avere nessun ulteriore aiuto. Cominciamo col supporre che ci sia un solo lupo mannaro in città, quest'ultimo, durante la prima notte di luna piena non vede in giro nessun altro lupo, in quanto appunto egli è l'unico. Dunque, dato che è a conoscenza della presenza di almeno un lupo, capisce che l'unico lupo è egli stesso, e quindi si ucciderebbe la prima notte. Questo però non succede, quindi dobbiamo scartare l'ipotesi che ci sia un solo lupo. Supponiamo allora che i lupi siano due. La prima notte di plenilunio, ognuno di essi vede esattamente un lupo mannaro (l'altro) pensando che ce ne sia uno soltanto, e quindi, per il ragionamento fatto in precedenza, pensa che questo si ucciderà nel corso della prima notte, ma ciò ovviamente non avviene. Pertanto la successiva notte di luna piena (la seconda) i due lupi si incontrano di nuovo ed entrambi capiscono quindi che ci deve essere un secondo lupo ma dato che ne vedono solo uno, capiscono di essere anch'essi dei lupi, e si ucciderebbero nella seconda notte. Dato che la seconda notte nessuno si è ucciso, dobbiamo supporre che i lupi siano tre. Allora ognuno di questi tre, sulla base di quanto detto fin qui, penserà che gli altri due si uccideranno la seconda notte, ma la terza notte li rivede ancora e quindi capisce che ce ne deve essere un terzo, e che quel terzo deve essere lui, e quindi si uccide. Il ragionamento può essere generalizzato e possiamo quindi dire che se ci fossero n lupi, questi si ucciderebbero dopo n notti di plenilunio.

È impossibile ricoprire la scacchiera ridotta (dopo l'eliminazione delle due caselle d'angolo opposte) con 31 pezzi di domino e lo si dimostra facilmente. I due angoli diagonalmente opposti sono dello stesso colore. Perciò togliendoli si ottiene una scacchiera con due caselle di un colore in più rispetto all'altro colore Ogni pezzo di domino ricopre due caselle di colori differenti, in quanto solo caselle di colori sono fra loro adiacenti. Dopo aver ricoperto 60 caselle con 30 pezzi di domino, rimarrebbero due caselle dello stesso colore che non possono essere contigue e perciò venir coperte con l'ultimo, unico pezzo.

La risposta è: un gatto. Questa risposta è sorprendente, in quanto si è indotti a pensare che allungare una circonferenza così lunga di una percentuale tanto insignificante provochi un aumento del raggio altrettanto insignificante. Invece questo non è vero, poichè l'incremento subito dal raggio dipende solo dalla lunghezza del pezzo di corda aggiunto e non dal raggio della circonferenza iniziale. Detto questo, il calcolo è veramente immediato. Infatti, indicando con R il raggio terrestre, con PI la costante pi greco e con C=2*PI*R la circonferenza, si ha che la distanza tra la corda e la superficie terrestre vale: d = (C+1)/(2*PI) - R = 1/(2*PI) che vale circa 16 centimetri, e quindi ci può passare sotto un gatto.

Le 1000 lire non sono finite da nessuna parte. Infatti il gioco è intenzionalmente posto con lo scopo di ingannare colui che deve risolverlo. La spiegazione è molto semplice: si può facilmente osservare che le 27000 complessivamente sborsate dai tre amici, sono state così suddivise: 25000 lire al direttore del ristorante e le restanti 2000 sono la mancia data al cameriere.

La risposta corretta è: 99 giorni. La soluzione di questo gioco è veramente molto semplice, infatti, se al centesimo giorni la ninfea ha ricoperto tutto il lago, il giorno precedente ne copriva evidentemente la metà, dato che ogni giorno la superficie della foglia raddoppia.

Per ottenere il risultato voluto, bisogna innanzitutto riempire la tanica da 5 e quindi trasferirne 3 litri nell'altra. In questo modo saranno rimasti 2 litri in quella da 5. Successivamente si svuota quella da 3 e si trasferiscono i 2 litri precedenti dalla tanica da 5 a quella da 3. A questo punto riempiamo di nuovo quella da 5 e trasferiamo 1 litro in quella da 3 in modo da riempire quest'ultima. Il risultato ottenuto sarà quello di avere 4 litri di acqua nella tanica più grande.

Per la risoluzione generale di problemi come questo risulta utile rappresentare ogni configurazione del contenuto delle due taniche con una coppia di numeri (n₁, n₂) che rappresentano i litri d'acqua contenuti rispettivamente nei due recipienti. A questo punto bisogna costruire un grafo, i cui nodi sono appunto costituiti dalle coppie descritte in precedenza. A partire da ogni nodo bisogna poi costruire i nuovi nodi che si possono ottenere applicando una delle regole seguenti:

1. Riempimento tanica 1
2. Riempimento tanica 2
3. Svuotamento tanica 1
4. Svuotamento tanica 2
5. Trasferimento da 1 a 2
6. Trasferimento da 2 a 1

In questo modo, avremo che nel nostro grafo, da ogni nodo partiranno alcune frecce dirette verso altri nodi, ed il numero di tali frecce è uguale a quello delle diverse regole che si possono applicare a quella particolare configurazione. Una volta completata la costruzione di tale grafo, avendo attenzione di non introdurre nuovi nodi se questi esistono già, ci resterà soltanto da individuare il percorso che ci porta dalla configurazione iniziale a quella finale desiderata. Come molti avranno già potuto notare, non abbiamo fatto altro che costruire il diagramma degli stati di quello che comunemente viene chiamato un automa a stati finiti. Questo automa è dotato di due variabili di stato che coincidono con il contenuto delle due taniche, e di sei ingressi, che non sono altro le regole applicative. In questo caso l'uscita dell'automa non è molto significativa, infatti coincide praticamente con lo stato.
Nel nostro caso il percorso da seguire per raggiungere il risultato voluto è il seguente:
(0,0) - (0,5) - (3,2) - (0,2) - (2,0) - (2,5) - (1,4)
che è il risultato dell'applicazione delle regole: 2 - 6 - 3 - 6 - 2 - 6.

La risposta è che c'è tanto vino nell'acqua quanta acqua nel vino. Il fatto divertente in questo problema è la straordinaria quantità di informazioni irrilevanti fornite. Non è necessario conoscere quanto liquido vi sia in ogni caraffa, quanto ne sia trasferito da una all'altra o quanti trasferimenti vengono fatti. Non ha importanza se le miscele sono ben mescolate o meno. Non è nemmeno essenziale che i due recipienti contengano la stessa quantità di liquido all'inizio! La sola condizione importante è che alla fine ogni caraffa deve contenere esattamente la stessa quantità di liquido dell'inizio. Ottenuto ciò è ovvio che se manca una quantità x di vino dalla caraffa del vino, lo spazio prima occupato da tale quantità deve ora essere occupato da una quantità x di acqua.

Per quanto riguarda il secondo problema invece, prescindendo dalla quantità di vino in una caraffa e di acqua nell'altra e da quanto liquido viene trasferito avanti e indietro ad ogni stadio (purchè il liquido non vada tutto in una sola delle caraffe), è impossibile raggiungere un punto in cui la percentuale di vino della miscela sia eguale in entrambe. Questo lo si può dimostrare con un semplice ragionamento induttivo. Se la caraffa A contiene una concentrazione più alta di vino che B, un trasferimento da A a B lascerà A con la concentrazione maggiore. Similmente un trasferimento da B a A (da una miscela inferiore ad una più forte) lascerò certamente B più debole. Dato che per ogni trasferimento si verifica uno di questi due casi, ne segue che la caraffa A deve sempre contenere una miscela a percentuale più alta di vino che B. Il solo modo di rendere uguali le concentrazioni è di versare tutto il contenuto di una caraffa nell'altra. In questa soluzione vi è però un'idea errata. Essa ammette che i liquidi siano infinitamente divisibili, mentre sono composti di molecole discrete.

La mosca ha percorso esattamente 120 km. La risoluzione è molto semplice e praticamente non richiede nessun calcolo. Se si osserva che i due treni viaggiano alla velocità relativa di 200 km/h, si conclude che lo scontro avviene esattamante un'ora dopo la partenza. La mosca ha quindi viaggiato a velocità costante per un'ora, percorrendo 120 km.

Ecco la soluzione di questo semplice gioco. Ovviamente esistono anche altre soluzioni simmetriche a questa. La difficoltà sostanziale che molti incontrano nell'affrontare questo problema è dovuta al fatto che essi pensano di dover risolvere il problema di coprire i punti di questo quadrato senza uscirne.

La risposta corretta è: 30 km/h. La risposta più frequente che viene data a questo problema è è invece 40 km/h, basata sul fatto che che il ciclista ha percorso esattamente metà del cammino alla velocità (media) di 20 km/h e esattamente l'altra metà alla velocità (media) di 60 km/h; ma ciò nondimeno, la risposta è errata, giacché procedendo in discesa ad una velocità tripla rispetto a quella tenuta in salita il nostro atleta ha pedalato per un tempo triplo alla velocità di 20 km/h rispetto al tempo in cui è andato a 60 km/h. La risposta corretta è dunque data da v = (3 x 20 + 60) / 4 = 30 km/h. Bisogna cioè tenere conto del peso relativo di ciascuna delle medie.