Soluzioni

La risposta è che potete arrivare fino alla Luna, e a dire la verità anche un po' oltre. Infatti ad ogni piegamento lo spessore raddoppia, perciò dopo 42 piegamenti, lo spessore totale sarà 2⁴² volte lo spessore iniziale, che equivale a circa 440000 km che è, come vedete, maggiore della distanza terra-luna che è approssimativamente 385000 km. A questo punto verrebbe da chiedersi perchè si spendono tanti soldi per le missioni spaziali, quando basterebbe andare alla cartoleria all'angolo, comprare un foglio di carta, piegarlo 42 volte e poi salirci sopra!

La risposta è che passano 200 camion ogni ora. L'automobilista viaggia ad una velocità relativa rispetto ai camion di 40 km/h. Perciò in mezz'ora, percorre 20 km, sempre rispetto ai camion. Questo significa che in un tratto di strada lungo 20 km, ci sono 50 camion, e cioè che ogni camion dista dal successiva 400 m (=20km/50). Dunque tra il passaggio di un camion e l'altro, passano 18 secondi (=0,400/80=0,005 ore) pertanto in un'ora ne passano 200 (=3600/18).

All'inizio si prende la prima corda e si dà fuoco a entrambe le estremità contemporaneamente, e sempre nello stesso istante accendo un estremo della seconda corda. Passata mezz'ora la prima corda sarà completamente consumata (visto che ci avrebbe impiegato un'ora se fosse stata accesa solo da una parte). A questo punto la seconda corda continuerebbe a bruciare ancora per mezz'ora, ma se si dà fuoco anche all'altro estremo, finirà esattamente nel giro di un quarto d'ora.... il quarto d'ora da misurare.

Consideriamo un tempo di 6 ore, cioè 360 minuti (prendiamo 6 ore perchè è un numero comodo per fare i conti visto che vengono fuori degli interi). In queste 6 ore:
1) Il primo da solo dipingerebbe 6 stanze
2) Il secondo da solo dipingerebbe 4 stanze
3) Il terzo da solo dipingerebbe 3 stanze
Cioè, lavorando tutti assieme per 6 ore dipingerebbero un totale di 13 stanze, per cui per trovare quanto ci mettono per una sola stanza si devono dividere le 6 ore per 13:
6 ore / 13 = 360 min / 13 = 27 min 41 sec 54 centesimi

Il termine successivo è 312211. Ogni termine si ricava dal precedente "spiegando cosa è scritto": in 1112211 ci sono tre 1, due 2 e ancora due 1, quindi 3 1, 2 2, 2 1, quindi 312221.

Non è necessario tenere in alcun conto i dietro-front di Rex, semplicemente: i poliziotti raggiungono gli evasi dopo 1 ora, il (povero) Rex viaggia alla velocità costante di 12 Km/h per tutto il tempo, quindi Rex copre 12 Km. Come si calcola il tempo necessario affinché i poliziotti raggiungano gli evasi: sia t tale tempo, S lo spazio percorso dagli evasi a partire da quando inizia l'inseguimento, e quindi (S+2) è lo spazio percorso dai poliziotti, visto che gli evasi sono in vantaggio di mezz'ora e viaggiano a 4 Km/h (-> si sono avvantaggiati di 2 Km). allora:
S =4t (= spazio percorso dagli evasi dall'inizio dell'inseguimento)
S+2=6t (= spazio percorso dai poliziotti)
da cui:
4t=6t-2 -> t=1 (ore).

a) La risposta è 15 noci. Infatti se alla fine resta una noce (quella che viene data alla scimmia) vuol dire che il terzo marinaio si è trovato davanti ad un mucchio di 3 noci, dal quale ne ha prese 2, ovvero metà del mucchio (cioè una noce e mezza) più mezza noce, lasciandone 1. Analogamente il secondo marinaio avrà avuto a disposizione 7 noci prendendone 4 (3 e mezzo + 1 mezza noce) e lasciandone appunto 3 per il terzo marinaio. Infine, il primo marinaio poteva disporre di un totale di 15 noci, e ne ha prese 8.

b) La risposta è 3121 noci. In realtà in questo caso la risposta non è unica, ma chiaramente una volta nota una soluzione le altre potranno essere ottenute semplicemente sommando o sottraendo una costante che in questo caso vale 5⁶ = 15625. In questo caso 3121 rappresenta il numero minimo di noci di cocco. Per ricavare questo valore è sufficiente risolvere il seguente sistema.

Y = 5 x A + 1
4 x A = 5 x B + 1
4 x B = 5 x C + 1
4 x C = 5 x D + 1
4 x D = 5 x E + 1
4 x E = 5 x F

in cui Y è il numero totale di noci all'inizio, F è il numero di noci che ciascun uomo riceve al termine della spartizione, A B C D E sono il numero di noci prese da ciascun marinaio durante la notte ed infine il +1 indica la noce che viene ogni volta data alla scimmia. Da notare che tutti questi valori devono essere interi.
Facendo delle semplici sostituzioni di variabili si ottiene:

1024 x Y = 15625 x F + 8404

A questo punto bisogna risolvere questa equazione tenendo presente che i risultati devono essere interi. Si può anche procedere per tentativi, ma ci sono dei metodi matematici precisi che permettono la risoluzione. Ad esempio ci si può ricondurre ad un problema di programmazione lineare intera (si veda un qualunque libro di ricerca operativa), in cui la precedente equazione rappresenta un vincolo e la funzione obiettivo da minimizzare è semplicemente Y, cioè il numero di noci. Così procedendo si ottiene la soluzione preannunciata 3121.

Per una trattazione più approfondita vi consiglio di consulatare il libro "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner in cui c'è un intero capitolo dedicato a questo enigma.

c) Nel caso generale la soluzione è data da:

Per N dispari:
(1 + N x K) x N^N - (N - 1)

Per N pari:
(N - 1 + N x K) x N^N - (N - 1)

con K intero.

Il marziano ha 8 dita. Il gioco sta nel capire che il numero di dita del marziano equivale alla base del suo sistema di numerazione, e quindi si tratta di individuare dai dati forniti qual'è la base B esprimendo con la quale i numeri si riesce a fare tornare i conti. Inannzitutto possiamo dire che si tratta di una base maggiore di 6 visto che la cifra 6 compare nell'equazione.
Facciamo prima un piccolissimo richiamo sulle equazioni di 2° grado. Supponendo che le radici di un equzione siano a e b e che il coefficiente di x² nell'equazione sia unitario, l'equazione può essere riscritte in questo modo:

(x - a) (x - b)=0

cioè:

x² - (a + b) x + a b = 0

ovvero si ha che il coefficiente di x è uguale alla somma delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto delle due radici. A questo punto, visto che conosciamo i coefficienti dell'equazione possiamo scrivere (denotando con B la base di numerazione del marziano espressa in base 10 e supponendo a>b ):

a + b = (16)_B = (B + 6)₁₀
a b = (41)_B = (4B + 1)₁₀
a - b = (10)_B = (B)₁₀

da cui ricaviamo:

a = (3)₁₀
b = (B+3)₁₀
a b = [3 (B + 3)]₁₀ = [4 B + 1]₁₀

B = 8

Possiamo verificare che riscrivendo tutto in base 10 si ha:

x² - 14 x + 33 = 0

le cui radici sono x=3 e x=11.

Il primo esploratore non sa rispondere di che colore è il proprio berretto perciò evidentemente vuol dire che gli altri due non hanno entrambi il berretto bianco, altrimenti avrebbe saputo rispondere che il proprio era rosso.
Neppure il secondo esploratore sa di che colore è il proprio berretto, ciò significa che il terzo non può avere il berretto bianco altrimenti lui avrebbe detto che il suo è rosso (non potendo essere entrambi bianchi).
Di conseguenza il terzo dice che è il proprio è rosso .

Sono sufficiente 3 aerei. I tre aerei A , B e C partono insieme ed arrivati ad 1/8 di giro C trasferisce ad A e B un quarto di serbatoio ciascuno, a C ne rimane un quarto giusto giusto per tornare indietro. Arrivati ad 1/4 di giro B trasferisce ad A un quarto di serbatoio e gliene rimane metà per poter tornare indietro. C , dopo aver fatto il pieno , torna nel senso opposto del giro verso A. Quando A arriva a 3/4 di giro C gli trasferisce un quarto di serbatoio, contemporaneamente parte B raggiungendo A e C esattamente a 7/8 del giro. Dà a ciascuno dei due un quarto di serbatoio e arrivano tutti e tre all'isola in riserva sparata ma sani e salvi.